区间dp学习笔记

By Jefferw

区间dp介绍

区间dp是以区间的长度作为dp的阶段，使用两个指标(区间的左、右端点)描述两个维度。

在区间dp中，一个状态由若干个比它更小且包含于它的区间所代表的状态转移而来，因此区间dp的决策往往就是划分区间的方法。

例题及代码

例题

题目描述

今年是国际数学联盟确定的"2000——世界数学年"，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。
活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：设有一个长度 N 的数字串，要求选手使用 K 个乘号将它分成 K+1 个部分，找出一种分法，使得这 K+1 个部分的乘积最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子： 有一个数字串 312 ，当 N=3 ，K=1 时会有以下两种分法：1) 3×12=362) 31×2=62 。这时，符合题目要求的结果是：31×2=62 。
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式

第一行共有 2个正整数 N,K。
第二行是一个长度为 N 的数字串。

输出格式

输出所求得的最大乘积。

样例 #1

样例输入 #1

4 2
1231

样例输出 #1

62

提示

保证 6≤N≤40，1≤K≤6 。
测试点 1∼5：N≤10；
测试点 6∼10 ：N≤20 ；
测试点 11∼20 ：无特殊限制。

代码1(45分)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define MAX 41
using namespace std;
int n,kk;
long long a[MAX][MAX],dp[MAX][MAX],s;//由于题目支持的位数多，所以开long long
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&kk);
	scanf("%lld",&s);
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		a[i][i]=s%10;
		s=s/10;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i-1;j>=1;j--)
		{
			a[j][i]=a[j][i-1]*10+a[i][i];
		}
	}//实现a[i][j]表示第i到第j位数的内容
	for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][0]=a[1][i];//dp数组初始化
	/*for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			printf("%lld\t",a[i][j]);
		}
		puts("");
	}
		puts("");
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			printf("%lld\t",dp[i][j]);
		}
		puts("");
	}*/
	for(int k=1;k<=kk;k++)//循环除号个数
	{
		for(int i=k+1;i<=n;i++)//循环数字位数(数字位数无法小于等于除号个数)
		{
			for(int j=k;j<i;++j)
			{
				dp[i][k]=max(dp[i][k],dp[j][k-1]*a[j+1][i]);//状态转移方程
			}
		}
	}
	printf("%lld",dp[n][kk]);
    return 0;
}